文章目录一. 基本内容与重要结论1. 基础知识1.1. 二次型的概念1.2. 坐标变换与合同1.3. 正定矩阵2. 主要定理1. 变换二次型总能化成标准型2. 惯性定理惯性指数唯一确定3. 特征值二次型与特征值的关系4. 正定正定的充要和必要条件典型例题1. 二次型的基本概念题型一求二次型矩阵方程得二次型题型二坐标变换2. 二次型的标准型、规范形题型一化标准型的方法消掉混合项正交变换法化标准型****题型一根据相似性质来取标准型题型二根据二次型矩阵求标准型矩阵及正交变换题型三3. 标准型题型一坐标变换后的惯性指数不变题型二化二次型为规范型题型由特征性质求二次型矩阵****4. 二次型的正定性顺序主子式大于0特征值全部大于0正定的证明5. 矩阵的等价、相似、合同一. 基本内容与重要结论1. 基础知识1.1. 二次型的概念二次型概念标准型规范型标准型中的正惯性指数1.2. 坐标变换与合同坐标变换矩阵合同合同来表示二次型ing1.3. 正定矩阵正定矩阵的必要条件是aii0。2. 主要定理1. 变换二次型总能化成标准型定理二定理三2. 惯性定理惯性指数唯一确定3. 特征值二次型与特征值的关系定理一经过正交变换二次型矩阵不仅合同而且相似4. 正定正定的充要和必要条件典型例题1. 二次型的基本概念题型一求二次型矩阵方程得二次型矩阵相乘改成二次型矩阵由二次型直接看出矩阵每个位置的元素求矩阵0求出a。判断秩为2的a。题型二坐标变换坐标变换的矩阵一定是可逆的如果等于0,则维度降低丢失信息。为什么? x1,x2,x3三项一定都有行列式不等于0。2. 二次型的标准型、规范形题型一化标准型的方法消掉混合项凑方法一将混合乘合并凑成标准型坐标变换是用y表示x题型变换两次正交变换法化标准型****题型一根据相似性质来取标准型定理二次型因为是实对称矩阵通过坐标变换一定能化成标准型即对角矩阵与A即相似又合同对角矩阵的主对角线元素之和标准型平方项系数思路一二次型矩阵与标准型矩阵的对应关系对角相似性质主对角线之和相等、行列式相等即能求出未知数a、b思路二按照定义来将标准平方项系数带入得出未知数。求λ得标准型系数根据特征向量求出λ根据定义带入特征矩阵Axλ1x解出a、b以及λ1求剩余特征值秩等于2知道0是特征值有相似对角化的性质对角矩阵矩阵的对角线元素之和求出最后一个λ题型二根据二次型矩阵求标准型矩阵及正交变换求二次型矩阵的特征值即正交矩阵。求基础解系要求单位正交化对应坐标变换。利用标准型简化求最值的过程通过只有平方项来处理最值问题。注意Q T Q Q − 1 Q E Q^TQQ^{-1}QEQTQQ−1QE,可得题型三二次型确定的标准型是唯一的。都化成标准型看看标准型是否一致如果一致则求出正交变换矩阵。化成标准型特征值、特征向量、正交化相互正交不同特征值向量一定正交单位化求正交变换因为有相同的标准型所以有等式求出从A到B的变换。3. 标准型题型一坐标变换后的惯性指数不变正交变换后A、B合同惯性指数不变正交变换-对角矩阵特征值-正惯性指数与特征值求特征值惯性指数不变讨论a的取值范围。题型二化二次型为规范型配方法 具有一定的随机性正交变换直接求对角矩阵得标准型标准型变规范型得坐标变换惯性指数不变两正一零令A的特征值的正负性符合惯性指数特性。化标准型a. 求特征向量正交、单位化- 正交变换。注意施密特正交化的步骤。题型由特征性质求二次型矩阵****利用特征方程求二次型a. 求特征值b. 因为是齐次方程组的解所以有非零解Aa0a有|A|0基础解系有一个n-r1秩2Ax00是特征值。c. 由A∽对角矩阵: (基础解系只有一个n解n-R1R2)秩相等2所以有λ2、2、0。d. 对角矩阵不同特征值的特征向量正交设特征向量求解。由特征向量求A特征值的特性A − k E A λ 1 k 、 λ 2 k 、 λ 3 k A -kEA λ1k、λ2k、λ3kA−kEAλ1k、λ2k、λ3k二次型-标准型惯性指数不变4. 二次型的正定性顺序主子式大于0各阶主子式大于0正定。二次型矩阵各阶顺序主子式0特征值全部大于0有等式得特征值0,2kAE的特征值1-2k1正定特征值大于0。正定的证明5. 矩阵的等价、相似、合同理论等价行变换合同相同惯性指数相似特征值不相等不相似。